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Comportement asymptotique de quelques systèmes thermoélastiques
(2018-03-04) Keddi Ahmed; Encadreur: BENAISSA Abbes; Co-Encadreur: MESSAOUDI Salim
الملخص (بالعربية) الهدف من هذا العمل هو دراسة السلوك التقاربي لحلول بعض الأنظمة الزائدية التي يكون فيها التبديد يتم بواسطة حد مرونة حرارية أو لزوجة مرنة. نعتبر نظام مرونة حرارية لتيموشنكو مع موجة ثانية في وجود حد ذاكرة غير منتهية، باستخدام طريقة المضروبات، تم الحصول على نتيجة تناقص تبعا للحالة التي تتناقص فيها دالة الاسترخاء بشكل جبري، أسي أو أكثر عموما. في المسألة الثانية تمت دراسة الوجود، الوحدانية والاستقرار لنظام مرونة حرارية خطي أحادي البعد لتيموشينكو، يعطى فيه التوصيل الحراري بواسطة قانون كاتانيو، والاقتران يتم خلال معادلة الانتقال. وقد اثبت أن هذا النظام مستقر بشكل أسي إذا وفقط إذا كان عدد الاستقرار معدوما. خلاف ذلك، أي متى كان عدد الاستقرار غير معدوم فقد تم إثبات الاستقرار الجبري في الاخير، تم دراسة الوجود، الوحدانية والاستقرار لنظام أحادي البعد لبريس، يتم إعطاء التوصيل الحراري فيه بقانون كاتانيو الذي يِؤثر على معادلة الدوران الزاوي. وقد تم إثبات الوجود والوحدانية لحلول النظام كما اثبت أيضا أن النظام مستقر بشكل أسي تبعا لبعض وسائط النظام. بشكل عام فقد تبين أن النظام غير مستقر بشكل أسي الكلمات المفتاحية: نظام مرونة حرارية مع موجة ثانية ، نظام تيموشينكو، نظام بريس، التناقص الاسي، التناقص الجبري، التناقص العام، ذاكرة غير منتهية، قانون كاتانيو Résumé (Français et/ou Anglais) : L'objectif de cette thèse est d'étudier le comportement des solutions de certains systèmes hyperboliques où la dissipation est introduite par la présence d'un terme thermoélastique ou viscoélastique. Nous avons commencé par un système thermoélastique de Timoshenko avec deuxième son en présence d'un terme mémoire infinie. En utilisant la méthode des multiplicateurs, on a montré un résultat de décroissance dans le cas où la fonction de relaxation décroit exponentiellement ou polynomialement ou d'une manière plus générale. Dans second problème, on a étudié l'existence, l'unicité et la stabilité asymptotique d'un système linéaire unidimensionnel de la thermoélasticité de Timoshenko, où la conduction thermique est donnée par la loi de Cattaneo, et le couplage se fait par l'équation de déplacement. On a montré que le système est exponentiellement stable si et seulement si le numéro de stabilité χ est nul. Par ailleurs, lorsque χ≠0, on a montré la stabilité polynomiale. En fin, on a étudié l'existence, l'unicité et la stabilité asymptotique d'un système unidimensionnel de Bresse, où la conduction thermique est donnée par la loi de Cattaneo agissant sur l'équation concernant la rotation angulaire. On a établi l'existence et l'unicité des solutions du système et on a prouvé que le système est exponentiellement stable en fonction de certains paramètres du système. En outre, on a montré que, en général, le système n'est pas exponentiellement stable. Mots Clés: Système thermoélastique avec deuxième son, système de Timoshenko, système de Bress, décroissance exponentielle, décroissance polynomiale, décroissance générale, mémoire infinie, loi de Cattaneo
Contribution à l'étude qualitative de certains problèmes d'évolution
(2020-06-23) ATOUI Halim; Encadreur: BENAISSA Abbes
الملخص (بالعربية) : في هذه الأطروحة اقترحنا بعض المسائل الرياضية لمعادلات و جمل معادلات بوجود آليات للتبديد ذات أشكال كسرية من زوايا مختلفة. ندرس خاصة جمل موجات الإرسال تحت بعض الفرضيات على الشروط الابتدائية و الشروط الحدية، ركزنا دراستنا على وجود الحلول ودراسة السلوك المقارب للحلول الموجودة عند اللانهاية الزمنية أين توصلنا لإيجاد عدة نتائج حول طريقة تناقص الطاقة والإنفجار في وقت محدود الكلمات المفتاحية : المعادلات التفاضليه الكسريه – الحل تحليلي - الحل التقريبي - Résumé (en Français) : Dans cette thèse, nous avons considéré quelques problèmes d’évolution hyperbolique avec la présence des termes dissipatifs de type fractionnaires. En particulier on considère le système onde-onde qui est constitué de deux équations des ondes couplées. Sous quelques hypothèses sur les données initiales et aux bords, nous avons concentré notre étude sur l'existence globale et le comportement asymptotique ainsi que l’explosion des solutions où nous avons obtenu plusieurs résultats sur les propriétés de l’énergie. Les mots clés : Semi-groupes - Problèmes d'évolution - Analyse spectrale. Abstract (en Anglais) : In this thesis we considered some evolution problems with the presence of dissipation of fractional derivative type. In particular, we consider transmission system which consist of two coupled wave equations and coupled wave equations with sourse terms. Under assumptions on initial data and boundary conditions, we focused our study on the global existence and asymptotic behavior and blow up of solutions where we obtained several results. Keywords : Semigroups – Evolution problelms -Spectral analysis.
Etude de la Stabilité de certains problèmes d'évolution linéaire par analyse spectrale.
(2021-01-07) GAOUAR Soumia; Encadreur: BENAISSA Abbes
الملخص (بالعربية) في هذه الأطروحة اقترحنا بعض المسائل الرياضية لمعادلات وجمل معادلات تطورية خطية بوجود آليات للتبديد ذات أشكال كسرية من زوايا مختلفة. ندرس خاصة نظام لامي. تحت بعض الفرضيات على الشروط الابتدائية والشروط الحدية، ركزنا دراستنا على وجود الحلول ودراسة السلوك المقارب للحلول الموجودة عند اللانهاية الزمنية أين توصلنا لإيجاد عدة نتائج حول طريقة تناقص الطاقة الكلمات المفتاحية : نظام لامي, آليات التبديد ذات أشكال كسرية, تناقص قوي للطاقة, دوال بيسل Résumé (en Français) : Dans cette thèse, nous avons considéré quelques problèmes d’évolution linéaires avec la présence des termes dissipatifs de type fractionnaires. En particulier on considère le système de Lamé. Sous quelques hypothèses sur les données initiales et aux bords, nous avons concentré notre étude sur l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions où nous avons obtenu plusieurs résultats sur la vitesse de décroissance de l’énergie. Les mots clés : Système de Lamé, Contrôle aux limites du type fractionnaire, Stabilité forte, Stabilité polynomiale, théorie des semi-groupes, Fonctions de Bessel. Abstract (en Anglais) : In this thesis, we considered some linear evolution problems with some dissipations of fractional derivative type. In particular, we consider the Lamé system. Under assumptions on initial data and boundary conditions, we focused our study on the global existence and asymptotic behavior of solutions where we obtained several results on the decay rate. Keywords : Lame system, Fractional feedback, Uniform stability, Polynomial stability, Semigroup theory, Bessel functions.
Etude de la stabilité et de l'explosion en temps fini de certains systèmes hyperboliques non linéaires
(2021-02-04) AOUNALLAH Radhouane; Encadreur: BENAISSA Abbes; Co-Encadreur: ZARAI Abderrahmane
الملخص (بالعربية) : في هذه الأطروحة اقترحنا بعض المسائل الرياضية لمعادلات و بوجود آليات للتبديدذات أشكال كسرية من زوايا مختلفة قوة خارجية.ندرس خاصة جمل موجات الإرسال تحت بعض الفرضيات على الشروط الابتدائية و الشروط الحدية،ركزنا دراستنا على وجود الحلول ودراسة السلوك المقارب للحلول الموجودة عند اللانهاية الزمنية أين توصلنا لإيجاد عدة نتائج حول طريقة تناقص الطاقة والإنفجار في وقت محدود الكلمات المفتاحية : المعادلات التفاضليه الكسريه – الحل تحليلي - الحل التقريبي – إنفجار الحل ----------------------------------------------------------------------------------- Résumé (en Français) : Cette thèse est consacrée à l'étude de l'existence et l'unicité de la solution et le comportement asymptotique de quelques problèmes aux dérivées partielles de type hyperbolique. Commençons alors par la question la plus importante qui est le comportement asymptotique. Cela veut dire: est-ce qu'elle explose en temps fini ? Est-ce qu'elle existe pour tout temps? Et quel est son comportement à temps grand (non-existence de solutions, décroissance exponentielle, décroissance polynômiale, décroissance logarithmique, …etc)? Mais avant d'étudier le comportement asymptotique, il faut prouver l'existence et l'unicité de la solution. Les mots clés Equations des ondes nonlinéaires - Equations de Kirchhoff, Dérivées fractionnaires, Stabilité exponentielle, stabilité polynomiale, explosion en temps fini. ----------------------------------------------------------------------------------- Abstract (en Anglais) : This thesis is composed of four chapters including: The first chapter is devoted to the notions of the theory of functional spaces and of certain notions used throughout this thesis. In the second chapter, we consider a nonlinear wave equation with a fractional boundary damping. Using the semi-group theory, we establish the existence of the solution and we prove a decay rate estimate for the energy by introducing suitable Lyapunovfunctionals . We also prove that the solution blows up in finite time if the initial energy is non-positive combined with a positive initial energy. The third chapter, we consider a nonlinear wave equation with a time delay condition of fractional type. In the same context, we will establish the existence of the solutions and we will prove a decay rate estimate for the energy. We also prove that the solution blows up in finite time if the initial energy is negative. In fourth chapter, we consider the Kirchhoff equation with Balakrishnan-Taylor damping and fractional boundary condition. In the same context, we will establish the existence of the solutions and we will prove that the solution blows up in finite time. Keywords : Nonlinear wave equation – Kirchhoff equation - Fractional derivatives - Exponential decay
Stabilisation de quelques équations d'évolution par approche diffusive
(2022-04-12) CHOUAOU fatiha; Encadreur: BENAISSA Abbes; Co-Encadreur: Kais AMMARI
Résumé (en Français) : Dans cette thèse ,nous étudions l'éxistence globale et le comportement asymptotique de solutions de l'équation des ondes dégénérée avec un contrôle frontière de type fractionnaire ou dissipation frontière dynamique de type dérivé fractionnaire . Les outils utilisées sont méthode d'analyse spectrale, semi groupe, C_0-semigroupe, le théorème de Borichev et Tomilov, théorème de Hille-Yosda et le théorème de Rouché. Premièrement, nous nous intéressons à l'étude de la stabilisation d'équation d'onde unidimensionnelle faiblement dégénérée u_tt-〖(x^γ u_x)〗_x=0 avec x∈(0,1)et γ∈[0;1), controlée par un feedback fractionnaire au bord agissant à x=0 . Stabilisation forte, uniforme et non uniforme sont obtenus avec une estimation explicite de la décroissance de l'énergie dans des espaces appropriés. Les résultats sont obtenus à travers une estimation de la résolvante du générateur associé au semigroupe. On utilise une méthode spectrale, nous établissons la vitesse de décroissance polynomial optimal de l'énergie du système. Ensuite, nous considérons une équation d'onde dégénérée avec une condition de contrôle frontière de type dérivé fractionnaire. Nous montrons que le problème n'est pas uniformément stable par une méthode spectrale et nous étudions la stabilité polynomiale à l'aide de la théorie des opérateurs linéaires basée sur le semigroupe. Enfin, nous nous intéressons à l’étude de l’existence globale des solution d’équations unidimensionnelles faiblement dégénérée u_tt-〖(x^γ u_x)〗_x=0 avec x∈(0,1)et γ∈[0;1), avec une condition de contrôle frontière dynamique de type dérivé fractionnaire Les mots clés : Equation d'onde dégénérée ,dissipation frontière dynamique de type dérivé fractionnaire , la vitesse de décroissance optimal , fonctions de Bessel , contrôle aux limites fractionnaires , stabilité polynomiale , 〖 C〗_0-semigroupe. Abstract (en Anglais) : In this thesis, we study the global existence and the asymptotic behavior of solutions of the degenerate wave equation with a fractional type boundary control or fractional derivative type dynamic boundary dissipation. The tools used are spectral analysis method, semigroup, C_0-semigroup, Borichev and Tomilov theorem, Hille-Yosda theorem and Rouché theorem. First, we are interested in the study of the stabilization of weakly degenerate one-dimensional wave equation u_tt-〖(x^γ u_x)〗_x=0 with x∈(0,1) and γ∈[0;1) , controlled by a fractional feedback at the boundary acting at x=0. Strong, uniform and non-uniform stabilization are obtained with an explicit estimate of the energy decay in appropriate spaces. The results are obtained through an estimate of the resolvent of the generator associated with the semigroup. Using a spectral method, we establish the optimal polynomial decay rate of the energy of the systemNext, we consider a degenerate wave equation with a boundary control condition of fractional derivative type. We show that the problem is not uniformly stable by a spectral method and we study the polynomial stability using the theory of linear operators based on the semigroup. Finally, we are interested in the study of the global existence of solutions of weakly degenerate one-dimensional equations u_tt-〖(x^γ u_x)〗_x=0 with x∈(0,1) and γ∈[0;1), with a dynamic boundary control condition of fractional derivative type. Keywords : Degenerate wave equation , dynamic boundary dissipation of fractional derivative type , optimal decay rate , Bessel functions , fractional boundary check , polynomial stability , 〖C〗_0-semigroup.
Stabilisation de quelques problèmes d’évolution hyperbolique par des contrôles de type fractionnaire frontière
(2018-11-22) KASMI Abderrahmane; Encadreur: BENAISSA Abbes
الملخص (بالعربية) الهدف من هذه الرسالة هو دراسة بعض مسائل قطوع زائدة من نوع بريس بوجود عناصر تحكم من نوع الحدود الكسرية بمعنى كابوتو بالنسبة لوجود الحلول، استخدمنا نظرية شبه الزمر مع .ركزنا دراستنا على وجود الحلول، الاستقرار و معدل الانخفاض للحلول دمج لطريقة الطاقة ، أما بالنسبة للاستقرار متعدد الحدود استخدمنا طريقة التردد و نظرية بوريتشف و تميلوف Résumé (Français ) : L’objet de cette thèse est l’étude de quelques problèmes hyperboliques de type Bresse avec des contrôles de type fractionnaire frontière au sens de Caputo. Nous avons concentré notre étude sur l'existence globale, la stabilité et le taux de décroissance des solutions. Pour l'existence globale, on utilise l'argument combinant la théorie du semi-groupe avec la méthode d'estimation d'énergie. Pour la stabilité polynomiale, on utilise une méthode fréquentielle et le théorème de Borichev et Y. Tomilov. Résumé ( Anglais) : The object of this thesis is to study some hyperbolic problems of Bresse type with a boundary control of fractional derivative type in the sense of Caputo. We focused our study on the global existence, stability and the decay rate of solutions. For the global existence, we use the argument combining the semigroup theory with the energy estimate method. For the polynomial stability, we use a frequency method and a Theorem of A. Borichev and Y. Tomilov.
Stabilisation du système de Timochenko viscoélastique en présence d’un terme de retard nonlinéaire
(2017-04-13) DJILALI Laid; Encadreur: BENAISSA Abbes
الملخص (بالعربية) في هذه الأطروحة اقترحنا بعض المسائل الرياضية لمعادلات و جمل معادلات قطوع زائدة و بصفة خاصة جمل تموشنكو بوجود آليات مختلفة للتبديد بعدة أشكال غير خطية من زوايا مختلفة . تحت بعض الفرضيات على الشروط الابتدائية و الشروط الحدية ، ركزنا دراستنا على وجود و دراسة السلوك المقارب للحلول الموجودة عند اللانهاية الزمنية أين توصلنا لإيجاد عدة نتائج حول طريقة تناقص الطاقة Résumé (Français et/ou Anglais) : Dans cette thèse, nous avons considéré quelques problèmes aux dérivées partielles de type hyperbolique en particulier le système de Timoshenko viscoélastique avec la présence de différents mécanismes de dissipation et des termes de retard non linéaire. Sous quelques hypothèses sur les données initiales et aux bords, conditions sur les termes de dissipation et les termes de retard, nous avons concentré notre étude sur l’existence globale et le comportement asymptotique des solutions où nous avons obtenu plusieurs résultats sur la vitesse de décroissance de l’énergie. In this thesis we considered some partial differential problems of type hyperbolic in particular viscoelastic Timoshenko system with the presence of different mechanisms of dissipation and delay terms nonlinear. Under assumptions on initial data and boundary conditions, conditions on damping and delay terms, we focused our study on the global existence and asymptotic behavior of solutions where we obtained several results on the decay rate of the energy.